歷法中的數學
數學自古至今時時充斥于我們生活的角角落落，并對我們的生產和生活產生重大影響。天文中的歷法同樣也蘊含著數學的玄機。
我們現在使用的歷法為國際通用的公歷，又稱陽歷。公歷有平年和閏年之分，平年有365天，其中二月有28天，閏年366天，其中二月有29天。公歷中的閏法對閏年是這樣規定的“四年一閏，百年少一閏，四百年加一閏”。為什么公歷中要安排復雜的閏法呢？
公歷中 閏年的算法
地球繞太陽一圈需時365天5時48分46秒，以天為單位化成分數即10463/43200
輾轉相除法
將分數部分 10463/43200 展成連分數
漸進分數依次為
現在通行的辦法是每四年一閏，每逢百年免閏一次，而每逢四百年又恢復一閏。
第一個漸近分數 1/4 告訴我們每四年一閏。
第三個漸近分數 8/33 告訴我們每三十三年八閏，即每九十九年二十四閏，為方便計，定為每一百年二十四閏，這就是逢百不閏的道理。
每四百年間，閏年的總數該為 3 x 31 4 x 1 = 97，若每百年 24 閏則 400 年有 96 閏，比實際需要的少了一次，故需再作調整，這就是逢 400 年恢復閏年的理由。
月相
其實這是由地球圍繞太陽公轉決定的。我們知道，地球繞太陽公轉一圈的時間為365天5時48分46秒，而平年僅有365天，剩余的5時48分46秒是二者之間的誤差，需要折算成天數，通過加閏的辦法，即在二月份加一天，就可將積累的誤差吸收掉。以天為單位，用分數的形式表現這個誤差為：
a＝5/24＋48/24×60＋46/24×60×60=10463/43200≈0.2421991。
從這個分數算式可以看出，在43200年中，需要安排10463個閏年，而消除誤差最好是均勻加閏，但卻不便操作和記憶。如果我們用連分數即可提供方便記憶的閏法。
運用輾轉相除法很容易得到誤差a的連分數表示式為：a＝10463/43200＝1/4＋1/7＋1/1＋1/3＋1/5＋1/64。
由連續式可以看出，第一個漸進分數a1=1/4=0.25，說明每隔四年就應該加一天，這就是所謂的“四年加一閏”。由于它是個近似值，而不是精確值，因此還需要修正。第三個漸進分數為a3＝1/4＋1/7＋1/1＝8/33≈0.2424242……說明每隔33年就需要加8天，每隔99年需加24天就比較與實際接近。因此100年（與99近似）中應加24天，而不是加25天。這就是“百年少一閏”。如果始終按每100年加24天，那么43200年就應加432×24=10368
（天）。
由a＝10463/43200可以知道，經過43200年，就應該加10463天，這就比實際少加了95天，所以，閏法又有了“四百年加一閏”的修正。但是，按照這種規定，就可以算出43200年共加了10463天，比實際又多增加了13天，這又意味著每隔3323年就又多加了一天。而這些還需做進一步的修正。
從以上的介紹可以看出，現在使用的歷法，其精確度是相當高的，但仍需要進行隨時修正，而這一切，均與數學密不可分。
農歷中的“十九年七閏”
中國傳統歷法
中國從古代一直沿用的歷法為農歷，它是由月球繞地球公轉決定的。農歷中的一個月，稱為“朔望月”，約為29.5306天。由于地球繞太陽公轉一周需要365.2422天，因此在一個公歷年中應該設置“農歷月”的個數為：365.2422/29.5306＝12＋10.8750/29.5306
從這個算式可以看出，如果每個農歷年均設有12個月，那么就會產生a=10.8750/29.5306=0.3682621的誤差。要想把這種積累的誤差消除掉，就必須在農歷年份中增加一個月，這個月就是閏月，這個年就稱為閏年。那么，怎樣增插閏月呢？這就需要先求出a的連分數表示式：
a＝1/2＋1/1＋1/2＋1/1＋1/1＋1/16＋1/1＋1/5＋1/2＋1/6＋1/2＋1/2
從上面的表示式可以看出，它的前六個逐次漸近分數依次為：a1＝1/2≈0.5，a2＝1/3≈0.3333333，a3＝3/8≈0.375，a4＝4/11≈0.3636364，a5＝7/19≈0.3684211，a6＝116/315≈0.368254。由此可得，a2＜a4＜a6＜a＜a5＜a3＜a1。這表明這些漸進分數是從左、右兩個方向向a的真值逼近的。
