高中排列組合Cn和An公式推導(dǎo)
排列組合是高中數(shù)學(xué)中非常重要的一門課程，其中Cn和An是排列組合中最為經(jīng)典的兩個(gè)公式。下面我們將對(duì)這兩個(gè)公式進(jìn)行推導(dǎo)。
首先，讓我們來(lái)推導(dǎo)Cn。Cn表示從n個(gè)物品中選出n個(gè)物品的組合數(shù)，即Cn=n!(n-r)!，其中n為物品總數(shù)，r為選取物品的數(shù)量。
為了推導(dǎo)Cn，我們需要將n！分解成多個(gè)等式的乘積。具體來(lái)說(shuō)，我們可以從以下兩個(gè)等式開(kāi)始推導(dǎo)：
Cn=n!(n-r)!Cn=n!(n-r)!
2Cn=n(n+1)(2n+1)/6Cn=n(n+1)(2n+1)/6
從第一個(gè)等式開(kāi)始，我們可以將n!(n-r)！展開(kāi)，得到：
Cn=n!(n-r)!=n!(n-(n-r))!Cn=n!(n-r)!=n!(n-(n-r))!
將等式兩邊同時(shí)除以n!，得到：
Cn=n!(n-r)!n!Cn=n!(n-r)!n!
將n!(n-r)！展開(kāi)，得到：
Cn=n!(n-r)!=n!(n-(n-r))!n!(n-r)!=n!(n-r)!(n+r)!Cn=n!(n-r)!=n!(n-(n-r))!n!(n-r)!=n!(n-r)!(n+r)!
將等式兩邊同時(shí)除以n!(n-r)!，得到：
Cn=n!(n-r)!n!(n-r)!n!(n-r)!=n!(n-r)!n!(n-r)!n!(n-r)!=n!(n-r)!(n+r)!(n-r)!Cn=n!(n-r)!n!(n-r)!n!(n-r)!=n!(n-r)!(n+r)!(n-r)!
將等式兩邊同時(shí)除以n!(n-r)!，得到：
Cn=n!(n-r)!(n+r)!Cn=n!(n-r)!(n+r)!=n!(n-r)!(n+r)!(n+r)!Cn=n!(n-r)!(n+r)!=n!(n-r)!(n+r)!(n+r)!
從以上推導(dǎo)可以看出，Cn可以通過(guò)將n！分解成多個(gè)等式的乘積，然后分別除以每個(gè)等式的乘積，得到最終的答案。
接下來(lái)，我們來(lái)推導(dǎo)An。An表示從n個(gè)物品中選出an個(gè)物品的組合數(shù)，即An=n!(n-a)!，其中a為選取物品的數(shù)量。
為了推導(dǎo)An，我們需要將n！分解成多個(gè)等式的乘積。具體來(lái)說(shuō)，我們可以從以下兩個(gè)等式開(kāi)始推導(dǎo)：
An=n!(n-a)!An=n!(n-a)!
2An=n(n+1)(2n+1)/6An=n(n+1)(2n+1)/6
從第一個(gè)等式開(kāi)始，我們可以將n!(n-a)！展開(kāi)，得到：
An=n!(n-a)!=n!(n-(n-a))!An=n!(n-a)!=n!(n-(n-a))!
將等式兩邊同時(shí)除以n!(n-a)!，得到：
An=n!(n-a)!n!(n-a)!=n!(n-a)!(n+a)!An=n!(n-a)!n!(n-a)!=n!(n-a)!(n+a)!
將等式兩邊同時(shí)除以n!(n-a)!，得到：
An=n!(n-a)!(n+a)!(n+a)!An=n!(n-a)!(n+a)!(n+a)!
從以上推導(dǎo)可以看出，An可以通過(guò)將n！分解成多個(gè)等式的乘積，然后分別除以每個(gè)等式的乘積，得到最終的答案。
綜上所述，我們可以從Cn和An的推導(dǎo)中得出結(jié)論：
Cn=n!(n-r)!n!(n-r)!An=n!(n-a)!(n+a)!(n+a)!
